PENDIENTE DE UNA RECTA

Pendiente de la recta

Antes de referirnos a la orientación de una pendiente de la recta (si es positiva o negativa) hagamos una recapitulación:

Veamos un ejemplo.

Si tenemos

y = 3x − 4 esto es igual a,

3x − y − 4 = 0 (ecuación de la recta)

Ahora lo que sigue es sacar la pendiente, pero ¿Cómo se obtiene la pendiente si solo tenemos la fórmula?

Pues hay dos maneras de hacerlo: directa e indirecta:

Indirecta:

Obtenemos dos puntos (x e y) a partir de dos valores dados a x (por ejemplo, x = 1  y  x = 2), y los ponemos en la ecuación de la recta:

3x − y − 4 = 0  si (x = 1)

3(1) − y − 4 = 0

3 − y − 4 = 0

− y − 1 = 0

y + 1 = 0

y = − 1

P₁ (1, −1) = (x₁, y₁)

3x − y − 4 = 0  si (x = 2) 

3(2) − y − 4 = 0

6 − y − 4 = 0

− y + 2 = 0

y = 2

P₂ (2, 2) = (x₂, y₂)

Ahora sustituimos en la fórmula de la pendiente:

(esta es la pendiente)

Directa:

Basándonos en los valores de la recta podemos conseguir la pendiente:

3x − y − 4 = 0

Ax − By − C = 0

A = cantidad de x

B = cantidad de y

C = Número cualquiera

Ahora solo sustituimos en la fórmula de la pendiente

(esta es la pendiente)

Grado de inclinación

Dada una recta, gráficamente su pendiente nos da su grado de inclinación

Pendiente positiva

Cuando la recta es creciente (al aumentar los valores de x aumentan los de y), su pendiente es positiva, en la expresión analítica m > 0

Pendiente negativa

Cuando la recta es decreciente (al aumentar los valores de x disminuyen los de y), su pendiente es negativa, en la expresión analítica m < 0

Pendiente nula o cero

Cuando la recta es constante se dice que tiene pendiente nula, en la expresión analítica m = 0

Visualmente, también  podemos definir si la pendiente es positiva o negativa:

Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo, la pendiente es positiva y crece al crecer el ángulo.

Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso, la pendiente es negativa y decrece al crecer el ángulo.

Con los ejemplos discutidos podemos observar la interpretación geométrica de la pendiente de una recta:

Pendiente	Tipo de recta
positiva	recta ascendente
negativa	recta descendente
cero	recta horizontal
no definida	recta vertical

Pendiente de una recta

Es el grado (medida) de inclinación de una recta, la razón de cambio en y con respecto al cambio en x.

Si una recta pasa por dos puntos dintintos (x₁, y₁) y (x₂, y₂), entonces su pendiente (m) está dada por:

Esto es,

Ejemplo para discusión:  Dibuja la recta que pasa por los puntos dados y halla la pendiente para cada caso.

1)  (-3,4) y (6, -2)

2)  (-3, -4) y (3, 2)

3)  (-4, 2) y ( 3, 2)

4)  (2, 4) y (2, -3)

Con los ejemplos discutidos podemos observar la interpretación geométrica de la pendiente de una recta:

Pendiente	Tipo de recta
positiva	recta ascendente
negativa	recta descendente
cero	recta horizontal
no definida	recta vertical

Ejercicio:  Halla la pendiente de la recta que pasa por cada par de puntos.

1)  (-3 , -3) y (2, -3)

2)  (0, 4) y (2, -4)

3)  (-2, -1) y (1, 2)

4)  (-3, 2) y (-3, -1)

Ecuaciones de la forma pendiente-intercepto

Ecuaciones de la forma y = mx + b donde m representa la pendiente y b el intercepto en y se conocen como ecuaciones de la forma pendiente-intercepto. 

Por ejemplo,  la ecuación y = -3x + 5 está expresada de la forma pendiente-intercepto donde la pendiente (m) es -3  y el intercepto en y es (0, 5).

Nota:  Una ecuación de la forma  y = mx  representa una recta que pasa por el origen.

Ejemplo:  La pendiente (m) es -3  y el intercepto en y es (0, 4).  ¿Cuál es la ecuación de la recta de la forma pendiente-intercepto?

Ejercicio:  Escribe la ecuación de la recta de la forma pendiente-intercepto con pendiente 3  y el intercepto en y en (0, 5).

Ecuaciones lineales en dos variables de forma general

Definición: Una ecuación de la forma ax + by = c donde a, b y c son constantes con a diferente de cero, b diferente de cero, x, y variables se conoce como una ecuación lineal en dos variables de forma general.

 Ejemplos:  2x + y = 4;  3x - 4y = 9.

Las ecuaciones y = -3x + 5  y  y = -2x  son ecuaciones lineales en dos variables pero no están expresadas de la forma general.  Lo podemos lograr cambiando de lugar los términos correspondientes.  De manera que:

y = -3x + 5  en la forma general es  3x + y = 5

y = -2x  en la forma general es  2x + y = 0

La ecuación x + y = 2 no está expresada de la forma pendiente-intercepto.  Pero lo podemos hacer cambiando términos de posición, esto es, y = -x + 2.  Donde la pendiente (m) es -1 y el intercepto en y es (0, 2).

Ejemplo:  Determina la pendiente  y  el intercepto en y  de la recta  cuya  ecuación es 2x + y = 1.  Dibuja la gráfica.

Rectas verticales y horizontales

La ecuación de una recta vertical se expresa de la forma x = a, donde a es una constante.  Recuerda que en una recta vertical la pendiente no está definida.

La ecuación de una recta horizontal se expresa de la forma y = b, donde b es una constante.  La pendiente de una recta horizontal es cero.

Ejemplos:  Construye la gráfica de cada ecuación:

1)  x = -2

2)  y - 5 =  0

3)  2y + 12 = 0

4)  3x – 15 = 0

Ecuaciones de la forma punto-pendiente

La ecuación de la recta que pasa por un punto (x₁, y₁) con pendiente m en la forma punto-pendiente es  y – y₁ = m(x – x₁).

Ejemplos para discusión:  Halla la ecuación de la recta dado:

1)  m  = -3, punto (8, 0)

2)  m = -2, punto (4, 2)

3)  puntos: (0, 5)  y  (3, 3)

4)  puntos: (-2, 3)  y  (-1, -6)

Ejercicio de práctica:  Halla la ecuación dado:

1)  m = 5 y el punto (-7, -2)

2)  puntos: (3, 1)  y  (-3, -1)

https://youtu.be/28nc-L-5o9E