INFORMATICA: FUNCION CUADRATICA

Función cuadrática

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma:

f(x) = ax² + bx + c

donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero.

En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre.

Así,

ax² es el término cuadrático

bx es el término lineal

c es el término independiente

Cuando estudiamos la ecuación de segundo grado o cuadrática vimos que si la ecuación tiene todos los términos se dice que es unecuación completa, si a la ecuación le falta el término lineal o el independiente se dice que la ecuación es incompleta.

Representación gráfica de una función cuadrática

Si pudiésemos representar en una gráfica "todos" los puntos [x,f(x)] de una función cuadrática, obtendríamos siempre una curva llamada parábola.

Parábola del puente, una función cuadrática.

Como contrapartida, diremos que una parábola es la representación gráfica de una función cuadrática.

Dicha parábola tendrá algunas características o elementos bien definidos dependiendo de los valores de la ecuación que la generan.

Estas características o elementos son:

Orientación o concavidad (ramas o brazos)

Puntos de corte con el eje de abscisas (raíces)

Punto de corte con el eje de ordenadas

Eje de simetría

Vértice

Orientación o concavidad

Una primera característica es la orientación o concavidad de la parábola. Hablamos de parábola cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parábola convexa si sus ramas o brazos se orientan hacia abajo.

Esta distinta orientación está definida por el valor (el signo) que tenga el término cuadrático (la ax²):

Si a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba, como en f(x) = 2x² − 3x − 5

Si a < 0 (negativo) la parábola es convexa o con puntas hacia abajo, como en f(x) = −3x² + 2x + 3

Además, cuanto mayor sea |a| (el valor absoluto de a), más cerrada es la parábola.

Puntos de corte en el eje de las abscisas (Raíces o soluciones) (eje de las X)

Otra característica o elemento fundamental para graficar una función cuadrática la da el valor o los valores que adquiera x, los cuales deben calcularse.

Ahora, para calcular las raíces (soluciones) de cualquier función cuadrática calculamos

f (x) = 0.

Esto significa que las raíces (soluciones) de una función cuadrática son aquellos valores de x para los cuales la expresión vale 0; es decir, los valores de x tales que y = 0; que es lo mismo que f(x) = 0.

Entonces hacemos

ax² + bx +c = 0

Como la ecuación ax² + bx +c = 0 posee un término de segundo grado, otro de primer grado y un término constante, no podemos aplicar las propiedades de las ecuaciones, entonces, para resolverla usamos la fórmula:

Entonces, las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática nos indican los puntos de intersección de la parábola con el eje de las X (abscisas).

Respecto a esta intersección, se pueden dar tres casos:

Que corte al eje X en dos puntos distintos

Que corte al eje X en un solo punto (es tangente al eje x)

Que no corte al eje X

Esta característica se puede determinar analizando el discriminante, ya visto en las ecuaciones cuadráticas.

Ver: Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas

Ver: PSU: Matemática;

Pregunta 34_2010

Pregunta 18_2006

Punto de corte en el eje de las ordenadas (eje de las Y)

En el eje de ordenadas (Y) la primera coordenada es cero, por lo que el punto de corte en el eje de las ordenadas lo marca el valor de c (0, c).

Veamos:

Representar la función f(x) = x² − 4x + 3

El eje de las ordenadas (Y) está cortado en +3

Representar la función f(x) = x² − 4x − 3

El eje de las ordenadas (Y) está cortado en −3

Observar que la parábola siempre cortará al eje de las ordenadas (Y), pero como ya vimos más arriba al eje de abscisas (X) puede que no lo corte, lo corte en dos puntos o solamente en uno.

Eje de simetría o simetría

Otra característica o elemento de la parábola es su eje de simetría.

El eje de simetría de una parábola es una recta vertical que divide simétricamente a la curva; es decir, intuitivamente la separa en dos partes congruentes. Se puede imaginar como un espejo que refleja la mitad de la parábola.

Su ecuación está dada por:

Donde x₁ y x₂ son las raíces de la ecuación de segundo grado en x, asociada a la parábola.

De aquí podemos establecer la ecuación del eje de simetría de la parábola:

Vértice

Como podemos ver en gráfico precedente, el vértice de la parábola es el punto de corte (o punto de intersección) del eje de simetría con la parábola y tiene como coordenadas

La abscisa de este punto corresponde al valor del eje de simetría

y la ordenada corresponde al valor máximo o mínimo de la función, funcion_cuadr_graficar007

según sea la orientación de la parábola (recuerde el discriminante)

UNCIONES CUYA REPRESENTACIÓN GRÁFICA ES UNA PARÁBOLA (FUNCIONES CUADRÁTICAS)

Las funciones cuya ecuación es
y = ax² + bx + c
con a,b y c números y a distinto de 0
(el valor de b y c si puede ser 0)
se llaman cuadráticas y se representan mediante parábolas con su eje paralelo al eje Y.

Estas parábolas son más o menos abiertas y con las ramas hacia arriba o hacia abajo, según cual sea el valor de a:
· Si a > 0, las ramas van hacia arriba.
· Si a < 0, las ramas van hacia abajo.

Además cuanto mayor sea |a|, menos abierta es
la parábola.

El eje de simetría de la parábola es la rectavertical que divide a ésta en dos partes iguales.

El vértice de la parábola es el punto de corte de dicho eje con la parábola y tiene de coordenadas

El eje de simetría tiene por ecuación
El punto de corte con el eje de ordenadas será el (0,c), mientras que los puntos de corte con el eje de abscisas tendrán por abscisas las soluciones de la ecuación ax² + bx + c = 0 y por ordenada 0.

Observar que la parábola siempre cortará al eje de ordenadas, pero al eje de abscisas puede que no lo corte, lo corte en dos puntos o solamente en uno.

Para representar una parábola primero se obtiene la abscisa y ordenada del vértice
y luego se calculan la abscisa y ordenada
de puntos próximos a él. De esta manera se obtiene la forma de la curva en su parte más interesante.

Ejemplo

Vamos a representar la función cuadrática de ecuación y = 2x² - 4x + 5

1º Calculamos las coordenadas del vértice. Como a = 2, b = - 4, c = 5,
la abscisa del vértice será -(-4/2 · 2)=1, la ordenada del vértice
se obtendrá sustituyendo la abscisa en la x de la función:
2·1²– 4 · 1 + 5 = 3.
Con lo cual el vértice tendrá de coordenadas (1, 3) .

2º Determinamos puntos de la parábola a izquierda y derecha del
vértice, dando valores a x y obteniendo los correspondientes
valores de y, al sustituir la x en la función por esos valores.

x	-1	0	2	3
y	11	5	5	11

3º Representamos gráficamente esos puntos obtenidos en el plano y los unimos.
El eje de simetría de la parábola tiene por
ecuación x = 1. El punto de intersección
con el eje de ordenadas es el (0,5). No
se corta con el eje de abscisas porque
la ecuación 2x² - 4x + 5 = 0
no tiene solución.